Neste post, serão abordados os seguintes tópicos:
- Introdução a estabilidade estrutural.
- Flambagem linear (cálculo de autovalores).
Vamos abordar os temas do ponto de vista do Método dos Elementos Finitos.
Introdução a Estabilidade Estrutural
Diversas estruturas demandam a avaliação de sua respectiva estabilidade estrutural. Colunas esbeltas, estruturas em compressão e tanques sujeitos a vácuo são exemplos de estruturas onde considerações de estabilidade estrutural são importantes.
Estabilidade estrutural pode ser entendida como uma estrutura que responde de forma a respeitar a curva de tensão e deformação dos materiais que a compõem. Ou seja, no regime elástico dos materiais, as deformações da estrutura serão diretamente proporcionais (a rigidez da estrutura, representada pelo Módulo de Elasticidade, se mantém constante) as cargas aplicadas. No regime plástico, temos uma variação da rigidez, porém ainda estamos em uma condição de estabilidade caso não haja flambagem (tipo de instabilidade).
Instabilidade estrutural pode ser entendido como uma mudança abrupta na rigidez do sistema, resultando em um deslocamento grande de alguns pontos da estrutura sob essencialmente nenhuma mudança no carregamento aplicado.
Um dos fenômenos de instabilidade estrutural mais importantes é a flambagem. O termo flambagem muitas vezes é empregado equivocadamente para significar a deflexão de uma viga. A flambagem é um fenômeno de instabilidade estrutural que no caso de uma coluna carregada sob compressão leva à flexão da coluna, daí, presume-se, a origem do sentido equívoco do termo.
A instabilidade por flambagem pode ser:
- Global: ocorre instabilidade na estrutura como um todo. Por exemplo: flambagem de viga submetida à esforço axial de compressão.
- Local: ocorre instabilidade em componentes da estrutura. Por exemplo: flambagem local da mesa de um perfil I.
Ao iniciar a instabilidade (flambagem), uma estrutura terá uma mudança muito grande no deslocamento (Δu) sob essencialmente nenhuma mudança no carregamento aplicado (a variação do carregamento apresenta magnitude irrisória se comparado com a variação de deslocamento gerado).
Uma coluna idealizada com extremidade engastada exibe o comportamento mostrado na imagem abaixo sob carga compressiva axial crescente (F).
Ponto de bifurcação:
- É o ponto na história do carregamento onde duas soluções (solution branches) são possíveis.
- No caso da coluna engastada idealizada, na carga crítica (Fcr) a coluna pode flambar para a
esquerda ou para a direita. Deste modo dois caminhos de carga são possíveis. - No caso real, a existência de imperfeições geométricas ou perturbações no carregamento (P≠ 0) determinará a direção do deslocamento.
Para entendermos melhor as condições de equilíbrio de uma estrutura, vejamos o caso abaixo.
Considere o equilíbrio da esfera mostrada na imagem.
- Se a superfície é côncava (concavidade para cima) o equilíbrio é dito estável. A esfera retornará a posição original se perturbada.
- Se a superfície é convexa (concavidade para baixo) o equilíbrio é dito instável. A esfera vai rolar superfície afora se a posição original é perturbada.
- Se a superfície é plana o equilíbrio da esfera é neutro. A esfera permanece na nova posição se deslocada da posição original.
Existem duas definições importantes com relação à carga aplicada:
- Carga crítica: Considerando a coluna engastada em compressão, para um valor de F < Fcr a coluna está em equilíbrio estável. Se uma pequena força de perturbação (P≠0) é introduzida e então removida, a coluna retornará a sua posição original. Para valores de F > Fcr a coluna está em equilíbrio instável. Qualquer pequena força perturbadora causará o colapso. Para F = Fcr a coluna está em equilíbrio neutro, e esta condição é a definição de carga crítica.
- Carga limite: Raramente a carga crítica é atingida em estruturas reais. Uma estrutura real é instável para uma carga inferior a carga crítica, devido a imperfeições e comportamento não linear. (Neste post, estamos abordando sobre Flambagem linear, o que não contabiliza as imperfeições da estrutura. O estudo da flambagem linear é o primeiro passo. Depois, deve-se realizar o estudo de flambagem não-linear que será assunto do próximo post).
Flambagem Linear
Agora que entendemos conceitos importantes sobre estabilidade estrutural, vamos estudar o fenômeno de flambagem linear com mais detalhes. Lembrando que uma análise de flambagem linear em uma estrutura é um estudo preliminar e que deve ser seguido de uma análise de flambagem não linear (vamos abordar sobre este tema no próximo post).
Uma análise de flambagem linear é baseada no problema clássico de autovalores. Para desenvolver o problema de autovalor, primeiramente é resolvida a relação cargadeslocamento para um estado onde a resposta é linear elástica e o carregamento é préflambagem (P0).
{P0} = [Ke]{u0}
onde:
- [Ke] = matriz de rigidez elástica
- {u0} = deslocamentos resultantes para a carga {P0}
A equação acima nada mais é do que uma representação matricial da Lei de Hooke. No método dos elementos finitos, trabalhamos com equações matriciais que representam um sistema de equações algébricas resultantes da discretização do problema.
Com a premissa de que os deslocamentos pré-flambagem são pequenos, as equações de equilíbrio (considerando incrementos de carga e deslocamentos para um estado arbitrário) são dados por:
{ΔP} = [[Ke]+[Kσ(σ)]]{Δu}
onde:
- [Kσ(σ)] = componente da matriz de rigidez do sistema para o estado de tensão {σ}
- {σ} = tensões resultantes de {u0}
O termo adicional de rigidez [Kσ(σ)] representa a variação de rigidez com uma pequena variação de carga na transição entre estado de pré-flambagem e flambagem.
Assumindo que a pré-flambagem possui perfil linear como uma função do carregamento aplicado:
- {P} = λ{P0}
- {u} = λ{u0}
- [Kσ(σ)] = λ[Kσ(σ)]
No início da instabilidade, sob atuação da carga de flambagem (Pcr), a estrutura pode exibir uma grande mudança de deslocamento sem uma mudança significativa da carga aplicada. Desta forma, assume-se que:
- {ΔP} ≈ 0
Substituindo a condição acima na equação anterior de equilíbrio e considerando incremento de deslocamento para a região de pré-flambagem se obtém:
- {0} = [[Ke]+λ[Kσ(σ)]]{Δu}
Essa relação representa um problema clássico de autovalor.
Deste modo, para uma análise de flambagem linear, o problema de autovalor abaixo é resolvido através da solução de determinante para a matriz ([Ke]+[Kσ(σ)]) para se obter o multiplicador da carga de flambagem λi, e os autovetores ui, que são os modos de flambagem da estrutura.
- {0} = [[Ke]+λi[Kσ(σ)]]{Δui}
onde:
- [K] = matriz de rigidez inicial do sistema (constante)
- [Kσ(σ)] = componente da matriz de rigidez devido a tensão aplicada
- λi = i-ésimo fator de carga de flambagem
- ui = i-ésimo modo de flambagem
Para resolução de uma análise de flambagem linear (autovalores), temos algumas considerações importantes:
- Por hipótese o comportamento de material é linear elástico.
- Por hipótese teoria de pequenos deslocamentos é usada.
- Propriedades não lineares, se definidas, são ignoradas.
Vamos utilizar o software Ansys® para executar um exemplo de análise de flambagem linear. Uma análise estrutural estática (Static Structural) deve ser feita em conjunto com a análise de flambagem (Eigenvalue Buckling).
Considerações sobre modelagem no software:
- Qualquer tipo de geometria suportada pelo Ansys Mechanical pode ser usada em análise de flambagem: Sólidos; Superfícies: Placas e cascas (com espessura definida); Linhas: Vigas (com as seções transversais definidas).
- Apenas os modos de flambagem e os deslocamentos estarão disponíveis para este tipo de análise (não será possível extrair valores de tensões, por exemplo).
- Embora massas concentradas (Point Mass) possam ser incluídas, apenas cargas inerciais afetarão as mesmas. Deste modo a aplicação deste tipo de elemento pode ser limitado em análise de flambagem.
- Considerando as propriedades de material, módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson são o mínimo requerido.
- Contatos não lineares (Frictionless, Frictional e Rough), caso sejam definidos, são ignorados ou reduzidos a contato linear dependendo do tipo de análise e status inicial.
- Ao menos um carregamento causador de flambagem deve ser aplicado na geometria (usualmente uma carga compressiva).
- Todos os carregamentos estruturais serão multiplicados pelo fator λ para determinar a carga de flambagem do sistema.
- A estrutura deve ser restringida para evitar movimentos de corpo rígido.
- Atenção especial quando cargas constantes e proporcionais estão presentes na verificação de flambagem.
- Uma iteração manual pode ser feita pelo usuário na busca da solução de flambagem, ajustando as cargas variáveis até que o multiplicador λ se torne 1 ou muito próximo a este valor.
- Análise de flambagem é sempre acoplada a análise estrutural dentro do Project Schematic.
- O objeto Pre-Stress (Static Structural) na árvore da análise de flambagem contém os resultados da análise estrutural.
- Na mesma árvore, em Analysis Settings, é possível especificar a quantidade de modos de flambagem que serão calculados.
- Após a configuração do modelo a análise de flambagem pode ser feita na sequência da análise estrutural estática.
- Uma análise de flambagem é computacionalmente mais cara que a análise estática para o mesmo modelo.
- O Solution Information fornece detalhes da solução em um relatório da solução realizada.
- Depois que a solução é completada, os modos de flambagem podem ser revisados.
- O multiplicador da carga para cada modo de flambagem é mostrado no resultado do Total Deformation, tanto no campo de detalhes, quanto na área do gráfico de resultados.
Veja o vídeo abaixo onde mostro um exemplo de modelagem de flambagem linear utilizando o software Ansys®
