As técnicas gerais e terminologia da análise de elementos finitos serão introduzidas com referência à figura abaixo. A figura representa um volume de algum material ou materiais com propriedades físicas conhecidas. O volume representa o domínio de um problema de valor de contorno (“Boundary Value Problem“) a ser resolvido.
(a) Domínio bidimensional geral com variável de campo Φ(x, y). (b) Um elemento de 3 nós definido no domínio. (c) Conjunto de elementos de 3 nós cada defininto uma parte da malha do domínio.
Para simplificar, neste ponto, assumimos um caso bidimensional com uma única variável de campo Φ(x, y) a ser determinada em cada ponto P(x, y) tal que uma equação governante conhecida (ou equações) seja satisfeita exatamente em cada um desses pontos. Observe que isso implica que uma solução matemática exata é obtida; ou seja, a solução é uma expressão algébrica de forma fechada das variáveis independentes. Em problemas práticos, o domínio pode ser geometricamente complexo como é, muitas vezes, a equação governante e a probabilidade de obter uma solução exata de forma fechada é muito baixa. Portanto, soluções aproximadas baseadas em técnicas numéricas e computação digital são mais frequentemente obtidas em análises de engenharia de problemas complexos. A análise de elementos finitos é uma técnica poderosa para obter tais soluções aproximadas com boa precisão.
Um pequeno elemento triangular que encerra um subdomínio de tamanho finito da área de interesse é mostrado na figura (item b). O fato de este elemento não ser um elemento diferencial de tamanho dx × dy o torna um elemento finito. Como tratamos este exemplo como um problema bidimensional, assume-se que a espessura na direção z é constante e a dependência z não é indicada na equação diferencial. Os vértices do elemento triangular são numerados para indicar que esses pontos são nós. Um nó é um ponto específico no elemento finito no qual o valor da variável de campo deve ser calculado explicitamente. Os nós externos estão localizados nos limites do elemento finito e podem ser usados para conectar um elemento a elementos finitos adjacentes. Os nós que não se encontram nos limites do elemento são nós interiores e não podem ser conectados a nenhum outro elemento. O elemento triangular da figura (item b) possui apenas nós exteriores.
Se os valores da variável de campo são calculados apenas nos nós, como os valores são obtidos em outros pontos dentro de um elemento finito? A resposta contém o ponto crucial do método dos elementos finitos: Os valores da variável de campo calculados nos nós são usados para aproximar os valores em pontos não nodais (ou seja, no interior do elemento) por interpolação dos valores nodais. Para o exemplo do triângulo de três nós, os nós são todos exteriores e, em qualquer outro ponto dentro do elemento, a variável de campo é descrita pela relação aproximada
onde Φ1, Φ2 e Φ3 são os valores da variável de campo nos nós e N1, N2 e N3 são as funções de interpolação, também conhecidas como funções de forma. Na abordagem de elementos finitos, os valores nodais da variável de campo são tratados como constantes desconhecidas que devem ser determinadas. As funções de interpolação são na maioria das vezes formas polinomiais das variáveis independentes, derivadas para satisfazer certas condições exigidas nos nós. O ponto principal a ser feito aqui é que as funções de interpolação são predeterminadas, funções conhecidas das variáveis independentes; e essas funções descrevem a variação da variável de campo dentro do elemento finito.
Diz-se que o elemento triangular descrito pela equação tem 3 graus de liberdade, pois três valores nodais da variável de campo são necessários para descrever a variável de campo em todo o elemento. Este seria o caso se a variável de campo representasse um campo escalar, como a temperatura em um problema de transferência de calor. Se o domínio da figura acima representa um corpo fino e sólido submetido a tensões planas, a variável de campo torna-se o vetor deslocamento e os valores de duas componentes devem ser calculados em cada nó. Neste último caso, o elemento triangular de três nós tem 6 graus de liberdade. Em geral, o número de graus de liberdade associados a um elemento finito é igual ao produto do número de nós pelo número de valores da variável de campo (e possivelmente suas derivadas) que devem ser computados em cada nó.
Como essa abordagem baseada em elementos funciona em todo o domínio de interesse? Conforme ilustrado na figura acima (item c), todo elemento está conectado em seus nós externos a outros elementos. As equações dos elementos finitos são formuladas de modo que, nas conexões nodais, o valor da variável de campo em qualquer conexão seja o mesmo para cada elemento conectado ao nó. Assim, é assegurada a continuidade da variável de campo nos nós. De fato, as formulações de elementos finitos são tais que a continuidade da variável de campo através dos limites entre os elementos também é assegurada. Esse recurso evita a possibilidade fisicamente inaceitável de ocorrência de lacunas ou vazios no domínio. Em problemas estruturais, tais lacunas representariam a separação física do material. Na transferência de calor, uma “lacuna” se manifestaria na forma de diferentes temperaturas no mesmo ponto físico.
Embora a continuidade da variável de campo de elemento para elemento seja inerente à formulação de elementos finitos, a continuidade interelemento de gradientes (ou seja, derivadas) da variável de campo geralmente não existe. Esta é uma observação crítica. Na maioria dos casos, essas derivadas são mais interessantes do que os valores das variáveis de campo. Por exemplo, em problemas estruturais, a variável de campo é o deslocamento, mas o verdadeiro interesse é mais frequentemente a deformação e a tensão. Como a deformação é definida em termos de primeiras derivadas de componentes de deslocamento, a deformação não é contínua através dos limites do elemento. No entanto, as magnitudes das descontinuidades das derivadas podem ser usadas para avaliar a precisão e a convergência da solução à medida que o número de elementos aumenta.
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