Este post é uma continuação do post sobre Flambagem Linear – Análise por elemenos finitos. Clique aqui para acessar o post.
Neste post, vamos tratar do fenômeno denominado Flambagem não Linear, conceito muito importante que analistas estruturais devem dominar.
Flambagem não linear pode ser entedida como um fenômeno de instabilização estrutural, onde uma estrutura geralmente submetida à esforços de compressão é submetida à grandes deslocamentos em alguns pontos com uma pequena variação de carga aplicada.
A diferença entre flambagem linear e não linear é que a primeira não considera as imperfeições do modelo físico, enquanto que flambagem não linear considera, logo os resultados são reais e podem ser utilizados em um projeto estrutural real.
Imagine um pilar em perfil I submetido à um esforço axial de compressão. Em uma análise de flambagem linear, consideramos o perfil fabricado com as dimensões nominais exatas. Além disso, consideramos que o pilar é perfeitamente reto e a carga está aplicada perfeitamente centralizada. Porém, como sabemos, na vida real nada é perfeito. O perfil possui tolerâncias nas dimensões da seção transversal e não é perfeitamente reto. A carga nunca é aplicada exatamente no eixo do perfil. Basicamente, uma análise de flambagem linear considera que a estrutura é perfeita, o que não é válido. Uma análise de flambagem não linear considera as imperfeições nos cálculos, logo é valida para ser utilizada em projeto.
Flambagem não linear
A curva mostrada abaixo é uma curva de força versus deslocamento não linear generalizada. A figura ilustra o caminho idealizado de carga, o caminho de carga para uma estrutura com imperfeição e a resposta dinâmica real da estrutura.
A curva em amarelo mostra a resposta de uma análise de flambagem linear que não considera imperfeições na estrutura. Observe que temos uma resposta linear da estrutura de Força versus Deslocamento. Antes do ponto de bifurcação (carga crítica), a estrutura é estável (como definimos no post de Flambagem Linear). No ponto de bifurcação (carga crítica) a estrutura se torna neutra. A partir deste ponto, a estrutura se torna instável, logo qualquer perturbação induz à flambagem e um dos caminho mostrados será percorrido.
A curva de cor preta mostra a resposta real da estrutura considerando suas imperfeições. Para interpretar a curva, vamos relembrar uma definição muito importante, a de rigidez. Podemos entender como rigidez da estrutura a inclinação da curva Força versus Deslocamento. Repare que na curva preta, temos uma inclinação (rigidez) inicialmente constante, até que há uma redução brusca até o ponto limite. Neste ponto, começa o fenômeno de flambagem, onde há uma grande variação de deslocamento com uma pequena variação de força. A rigidez da estrutura tem uma brusca queda, até que depois aumenta de novo.
Repare nos gráficos acima que temos uma região linear pré flambagem. Após alcançar o ponto crítico, temos uma região não linear de variação da rigidez da estrutura. Este intervalo de queda e depois aumento da rigidez é chamado de Snap-through. Observe no gráfico de Força versus Tempo que após o ponto crítico, o fenômeno de flambagem não linear ocorre muito rapidamente e sem nenhum tipo de aviso, e por isso é muito perigoso em estruturas reais.
Há várias técnicas de análise disponíveis no Ansys Mechanical para solução da resposta estática não linear força versus deslocamento de uma estrutura. Estas técnicas incluem:
- Controle de Carga
- Controle de Deslocamento
- Controle Dinâmico
- Método Arc-Length
- Estabilização Não Linear
Controle de Carga
Considere a análise do tipo snap-through de uma membrana shallow shell apresentada abaixo.
Quando a solução do problema é executada com forças (F) aplicadas incrementalmente, diz-se que se usa controle de carga para solucionar o problema.
A dificuldade em usar o controle de carga com o solver Newton-Raphson está no fato de que a solução não progride passando o ponto de estabilidade. No ponto de instabilidade (Fcr) a tangente da matriz é singular. Assim, com o controle de carga o método de Newton-Raphson não convergirá sem o auxílio de outras ferramentas.
Este tipo de análise, entretanto, pode ser útil para caracterizar o comportamento pré flambagem da estrutura.
Controle de Deslocamento
Quando o arco é carregado com um deslocamento aplicado incrementalmente, como oposto a força, a solução é executada usando controle de deslocamento.
A vantagem deste controle é a condição de uma solução estável para valores de força superior a Fcr. O deslocamento acrescenta uma restrição ao ponto de estabilidade.
A desvantagem no controle de deslocamento é que o método somente funciona quando o deslocamento imposto é conhecido, i.e., o deslocamento deixa de ser incógnita.
Se o arco é carregado com pressão ao invés de força concentrada, o controle de deslocamento não é possível.
Controle Dinâmico
Um problema de estabilidade estática, usando controle de carga, pode ser resolvido usando uma análise não linear dinâmica transiente.
Com a análise dinâmica a resposta devida a instabilidade não será calculada com a mudança brusca de configuração da estrutura, i.e., snap-through (haverá um salto dinâmico).
A desvantagem principal da dinâmica está relacionado com a dificuldade de amortecer os efeitos dinâmicos indesejáveis, resultado em formação de anéis (ringing).
Método Arc-Length
Métodos típicos de controle de carga usam a metodologia de Newton-Raphson (NR) por padrão.
As cargas aplicadas são incrementadas sequencialmente, causando problemas no ponto de flambagem.
O método Arc-Length (ou comprimento do arco) ajusta a carga aplicada baseado na relação entre os deslocamentos calculados incrementalmente e o raio do Arc-Length. Deste modo a carga aplicada pode decrescer se necessário.
Assim, o comportamento pós-flambagem é capturado, i.e., a metodologia permite o cálculo após o ponto de instabilidade.
Método Arc-Length não é diretamente exposto no Ansys Mechanical. Entretanto ele pode ser implementado via comandos APDL: ARCLEN, MAXARC e MINARC.
Para cada iteração resolve-se um problema quadrático. O raio do comprimento do arco é função da carga e do deslocamento.
Formulação do método implementado está disponível no item 14.11.6 do “Ansys Mechanical APDL User’s Guide”, acessível pelo Help do software.
Formulação do método implementado está disponível no item 14.11.6 do “Ansys Mechanical APDL User’s Guide”, acessível pelo Help do software.
Desvantagem do método Arc-Length: pode capturar um modo de falha fictício da estrutura.
Método Arc-Length procura o caminho de estabilidade da estrutura. No caminho de estabilidade da estrutura podem haver vários pontos de bifurcação, e não apenas um.
Solver pode “escolher” um caminho errado e mostrar uma solução que atenda aos requerimentos númericos de equilíbrio, mas não tem sentido físico real.
Adicionalmente, é uma metodologia de análise que normalmente resulta em muitos substeps, podendo ser bastante onerosa.
Todavia: é uma metodologia que lida muito bem com não-linearidades sem adicionar rigidez fictícia ao problema.
Estabilização não linear
A estabilização não linear pode ser entendida como adição de amortecedores artificiais em todos os nós do sistema estrutural.
Antes que a carga crítica seja alcançada, o sistema pode apresentar baixos deslocamentos para um determinado timestep. Isto pode ser entendido como uma baixa pseudo velocidade (já que a análise é estática) e deste modo uma força é menos resistiva devido aos amortecedores artificiais. Quando a flambagem ocorre, deslocamentos maiores vão resultar em um timestep pequeno. Deste modo tem-se uma grande pseudo velocidade e uma força resistiva grande. Então, a matriz de rigidez no ponto limite deixa de ser singular. O solver calcula uma força de amortecimento (fd) proporcional a pseudo velocidade relativa de dois nós no elemento amortecedor. A pseudo velocidade é calculada com o incremento do deslocamento dividido pelo incremento de tempo do substep.
Qualquer grau de liberdade (GDL) que tenda a instabilidade tem um grande incremento de deslocamento, causando uma grande força de amortecimento (estabilização). Esta força, aplicada no sentido inverso, reduz os deslocamentos para os GDLs, de modo que a estabilização é realizada. Para os GDL estáveis, os elementos amortecedores tem pequeno efeito nos resultados uma vez que os deslocamentos e as forças de estabilização são pequenas se comparadas com as forças físicas. O coeficiente usado para calcular as forças de estabilização é denominado “fator de amortecimento”. Embora este fator tenha o mesmo significado físico e unidade de medida de um amortecimento, a estabilização não linear é puramente numérica.
Há dois métodos disponíveis no Mechanical para controlar a força de estabilização: energia e amortecimento.
Energia:
- Fator de amortecimento calculado automaticamente.
- Fator pode variar de elemento para elemento.
- Mais adequado para instabilidade local (i.e. plasticidade).
Amortecimento:
- Fator de amortecimento definido diretamente pelo usuário.
- Mesmo fator utilizado para todos os elementos considerados.
- Recomendado quando há um fator de amortecimento específico.
Resumo:
- A avaliação da estabilidade estrutural é requisito para muitas estruturas.
- Problemas de instabilidade normalmente impõem dificuldades de convergência da solução e, portanto, requerem aplicação de técnicas especiais para tratamento das não linearidades.
- A estabilização não linear pode ser entendida como a adição de amortecedor artificial ou de um elemento amortecedor em cada nó do modelo.
- Há dois métodos disponíveis no Ansys Mechanical para controlar a força de estabilização: energia e amortecimento.
- É sempre uma boa prática examinar e determinar a extensão da influência da estabilização na precisão dos resultados, bem como examinar as forças e momentos de reação.
